விசை, உந்தம், தள்ளல், மோதல் — அனைத்தையும் ஊடாடும் உருவகப்படுத்துதல்களுடன் கற்றுக்கொள்ளுங்கள்
இயற்பியல் என்பது இயற்கையின் அடிப்படை விதிகளை ஆராயும் அறிவியல் பிரிவு ஆகும். இது பல கிளைகளாகப் பிரிக்கப்படுகிறது.
பொருள்களின் இயக்கம் மற்றும் ஓய்வு நிலையை பற்றி ஆராயும் பிரிவு
Mechanicsவெப்ப ஆற்றல் மாற்றங்களை ஆராயும் பிரிவு
Thermodynamicsஒளியின் தன்மை, எதிரொளிப்பு, ஒளிவிலகல் ஆகியவற்றை ஆராயும் பிரிவு
Opticsஇயந்திரவியல் மூன்று முக்கிய பிரிவுகளாகப் பிரிக்கப்படுகிறது
ஓய்வு நிலையில் உள்ள பொருள்களின் மீது செயல்படும் விசைகளை ஆராயும் பிரிவு. சமநிலை விதிகள் இங்கே ஆராயப்படுகின்றன.
விசையைக் கருதாமல் பொருள்களின் இயக்கத்தை மட்டும் ஆராயும் பிரிவு. இடப்பெயர்ச்சி, திசைவேகம், முடுக்கம் ஆகியவை இதில் அடங்கும்.
பொருள்களின் இயக்கத்திற்கான காரணமான விசையை ஆராயும் பிரிவு. நியூட்டனின் இயக்க விதிகள் இதன் அடிப்படை.
SI அலகு முறையின் அடிப்படை அலகுகள் மற்றும் அடிப்படை அளவுகள்
| அடிப்படை அளவு | SI அலகு | குறியீடு |
|---|---|---|
| நீளம் | மீட்டர் | m |
| நிறை | கிலோகிராம் | kg |
| காலம் | நொடி | s |
| வெப்பநிலை | கெல்வின் | K |
| மின்னோட்டம் | ஆம்பியர் | A |
விசை = நிறை × முடுக்கம் → அலகு: kg·m/s² = நியூட்டன் (N)
உந்தம் = நிறை × திசைவேகம் → அலகு: kg·m/s
ஒரு பொருள் மீது வெளிவிசை எதுவும் செயல்படாத வரை, அது ஓய்வு நிலையிலோ அல்லது சீரான நேர்கோட்டு இயக்கத்திலோ தொடர்ந்து இருக்கும்.
ஒவ்வொரு பொருளும் தனது தற்போதைய நிலையை (ஓய்வு அல்லது இயக்கம்) மாற்ற எதிர்ப்புக் காட்டும் பண்பே நிலைமம் எனப்படும்.
நிலைமம் மூன்று வகைப்படும்
ஓய்வு நிலையில் உள்ள பொருள், தொடர்ந்து ஓய்வு நிலையிலேயே இருக்க முயலும் பண்பு
Inertia of Restஇயக்கத்தில் உள்ள பொருள், தொடர்ந்து அதே திசைவேகத்தில் இயங்க முயலும் பண்பு
Inertia of Motionபொருள் தனது இயக்கத் திசையை மாற்ற எதிர்ப்புக் காட்டும் பண்பு
Inertia of Directionஒரு பொருளின் உந்த மாற்ற வீதம், அப்பொருளின்மீது செயல்படும் விசைக்கு நேர்விகிதத்தில் இருக்கும், மேலும் விசையின் திசையிலேயே நடைபெறும்.
F = dp/dt = d(mv)/dt
நிறை மாறிலி எனில்:
ஒரு பொருளின் நிறைக்கும் திசைவேகத்திற்கும் இடையிலான பெருக்கற்பலன் உந்தம் எனப்படும்.
உந்தம் ஒரு திசையளவு (Vector Quantity). இதன் திசை, திசைவேகத்தின் திசையில் இருக்கும்.
விசை என்பது உந்த மாற்ற வீதம் ஆகும். இது நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியின் அடிப்படை.
ஒவ்வொரு விசைக்கும் சமமான மற்றும் எதிர்த்திசையிலான எதிர்விசை உண்டு.
A என்ற பொருள் B மீது விசை செலுத்தும்போது, B யும் A மீது சமமான அளவு எதிர்த்திசையில் விசை செலுத்தும்.
வெளிவிசை எதுவும் செயல்படாத ஒரு தொகுப்பில், மொத்த உந்தம் மாறாது.
இரு பொருள்கள் மோதும்போது, மோதலுக்கு முன் மொத்த உந்தம் = மோதலுக்குப் பின் மொத்த உந்தம்
ஒரு பொருளின் மீது செயல்படும் விசையும் அது செயல்படும் கால அளவும் இணைந்தது தள்ளல் ஆகும்.
தள்ளல் = விசை × கால அளவு = உந்த மாற்றம்
மோதல்கள் இரு வகைப்படும் — இயக்க ஆற்றல் பாதுகாக்கப்படுமா என்பதை அடிப்படையாகக் கொண்டது
உந்தம் & இயக்க ஆற்றல் இரண்டும் பாதுகாக்கப்படும்.
உந்தம் மட்டும் பாதுகாக்கப்படும். இயக்க ஆற்றல் ஒரு பகுதி வெப்பம்/ஒலியாக மாறும்.
மோதலின் தன்மையைக் குறிக்கும் எண் — 0 முதல் 1 வரை
மீள்தன்மை மாறி (Coefficient of Restitution) என்பது பிரிவின் ஒப்பு வேகம் மற்றும் நெருக்கத்தின் ஒப்பு வேகத்தின் விகிதம் ஆகும்.
இரு பொருட்கள் மோதுவதற்கு முன்பும் பின்பும் ஒரே நேர்க்கோட்டில் (Line of Impact) இயங்கும் சிறப்பு நிகழ்வு
திசைவேகங்கள் கோள்களின் மையங்களை இணைக்கும் கோட்டின் (Line of Centers) வழியே அமைந்திருந்தால், அது நேர்முக மோதல் எனப்படும்.
வெளிப்புற விசை இல்லாததால், மொத்த உந்தம் மாறாது
விலகிச் செல்லும் வேகம் = e × நெருங்கி வந்த வேகம்
(2) → v₂ = v₁ + e(u₁ − u₂), இதை (1)-ல் பிரதியிட:
m₁u₁ + m₂u₂ = (m₁+m₂)v₁ + m₂·e(u₁−u₂)
திசைவேகங்கள் பரிமாறிக்கொள்ளப்படும்
பில்லியர்ட்ஸ் மோதல்சிறிய பந்தின் வேகம் இருமடங்காகும்
பந்து–சுவர் மோதல்முழு நெகிழா மோதல்
Perfectly Inelasticமிகக் குறுகிய காலத்தில் செயல்படும் கணத்தாக்கு விசை
e=1 → ΔKE=0 | e<1 → ΔKE>0
திசைவேகங்கள் மோதல் அச்சுக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தில் அமையும் போது ஏற்படும் மோதல்
இரு கோள்களின் மையங்களை இணைக்கும் கோடு. இதன் வழியே விசை செயல்படும்.
மோதல் அச்சுக்குச் செங்குத்தாக, கோள்கள் தொட்டுக்கொள்ளும் புள்ளியில் அமையும் தளம்.
விசை செயல்படுவதால் திசைவேகம் மாற்றமடையும்:
மென்மையான கோள்கள் → வேகக் கூறுகள் மாறாது:
e < 1 → θ > α (பந்து தரையை ஒட்டிச் செல்லும்)
தொடுதளத் திசையில் ஆற்றல் இழப்பு இல்லை
θ = α — ஒளியியல் விதி போன்றது
Angle of incidence = reflectionமோதல் அச்சில் ஒரே வேகம். தொடுதள வேகம் மாறாது.
Perfectly Inelasticநகரும் கோள் ஓய்வு கோளில் சாய்வாக மோதினால் 90° பிரிவு
பில்லியர்ட்ஸ் 90° விதிபெரும்பாலான மோதல்களில் ஆற்றல் வெப்பம், ஒலி, சிதைவு ஆகிய வடிவங்களில் மாற்றமடைகிறது
Ei = ½m₁u₁² + ½m₂u₂²
Ef = ½m₁v₁² + ½m₂v₂²
உந்தம் & மீள்தன்மை விதிகளை சுருக்கினால்:
(1−e²) = 0 → ΔE = 0
Zero KE Loss(1−e²) = 1 → ΔEmax
அணுக்கள் அதிர்வதால் பொருட்கள் சூடாகும்
அதிர்வுகள் ஒலி அலைகளாகப் பரவும்
வாகனம் நசுங்குவது, பந்து சிதைவடைவது
வினா: 2 kg பந்து 10 m/s வேகத்தில் ஓய்விலுள்ள 3 kg பந்தின் மீது மோதுகிறது. e=0.5 → ΔE=?
ΔE = ½ × (6/5) × 100 × 0.75 = 45 J
இரு-பொருள் கணக்குகளை ஒரு-பொருள் கணக்காக மாற்றும் மாயக் கருவி
இரண்டு பொருட்கள் பரஸ்பர விசைக்கு உட்பட்டு இயங்கும் போது, சார்பு இயக்கத்தை ஒரே ஒரு "கற்பனைப் பொருளின்" இயக்கமாக மாற்றுவதே குறைக்கப்பட்ட நிறை.
சார்பு முடுக்கம்: a⃗ = F⃗(1/m₁ + 1/m₂)
எனவே: F⃗ = [m₁m₂/(m₁+m₂)]·a⃗
Binary Stars — சுற்றுப்பாதை கணக்கிடல்
ஹைட்ரஜன் அணு ஆற்றல் மட்டங்கள்
Diatomic molecules அதிர்வெண் கணக்கிடல்
வினா: m₁=6 kg, m₂=3 kg → μ = ?
μ = (6×3)/(6+3) = 18/9 = 2 kg
Center of Mass — Concept & Definition
இயற்பியலில் இயக்கவியலை (Mechanics) எளிமைப்படுத்துவது மிக அவசியம்.
ஒரு கல்லை வீசும்போது, அது சீராக ஒரு பரவளையப் பாதையில் (Parabolic path) பயணிக்கிறது. ஆனால், ஒரு மட்டையை (Bat) அல்லது ஒரு சீரற்ற வடிவமுள்ள பொருளை வீசும்போது, அதன் ஒவ்வொரு பகுதியும் வெவ்வேறு பாதையில் செல்வது போலத் தோன்றும்.
இருப்பினும், அந்தப் பொருளுக்குள்ளேயே ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி மட்டும் மிகச் சரியான பரவளையப் பாதையில் நகரும். அந்த தனித்துவமான புள்ளியே நிறை மையம் (Center of Mass) ஆகும்.
ஒரு பொருளின் மீது செயல்படும் அனைத்து வெளிப்புற விசைகளும் (External Forces) அந்தப் புள்ளியின் மீதே செயல்படுவதாகவும், பொருளின் முழு நிறையும் அந்தப் புள்ளியில் செறிந்திருப்பதாகவும் நாம் கருதலாம்.
இது ஒரு கற்பனைப் புள்ளி ஆக இருக்கலாம். சில நேரங்களில் இது பொருளுக்கு வெளியேயும் அமையலாம்.
உதாரணம்: ஒரு வளையம் அல்லது மோதிரத்தின் நிறை மையம் அதன் நடுவில் உள்ள காலியான இடத்தில் இருக்கும்.
m₁ மற்றும் m₂ என்ற நிறை கொண்ட இரு துகள்கள், x-அச்சில் முறையே x₁ மற்றும் x₂ இடங்களில் இருப்பதாகக் கொள்வோம்.
ஒரு அமைப்பில் n துகள்கள் இருந்தால், அதன் நிறை மையத்தின் நிலை வெக்டர்:
இங்கு, M = Σ mᵢ → அமைப்பின் மொத்த நிறை.
📌 மலை போன்ற மிகப்பெரிய பொருட்களில், உயரத்தோடு ஈர்ப்பு விசை மாறுவதால் CM மற்றும் CG சற்றே வேறுபடலாம்.
வீரர் தனது உடலை வில் போல வளைத்துத் தாண்டும்போது, உடலின் நிறை மையம் தாண்டும் கம்பிக்குக் கீழேயே செல்கிறது. இதனால் குறைந்த ஆற்றலில் அதிக உயரம் தாண்ட முடிகிறது.
பந்தயக் கார்கள் தரைக்கு நெருக்கமாக வடிவமைக்கப்படுகின்றன. நிறை மையம் கீழே இருந்தால் → வளைவுகளில் கவிழாது + அதிக நிலைத்தன்மை.
நீண்ட கம்பு பிடித்தோ, கைகளை விரித்தபடியோ நடப்பார்கள். இது ஒட்டுமொத்த நிறை மையத்தை கயிற்றின் மீது நிலைநிறுத்த உதவுகிறது.
ஒரு அமைப்பில் உள்ள துகள்கள் ஒன்றையொன்று மோதிக்கொண்டாலும், வெடித்துச் சிதறினாலும், அதன் நிறை மையம் தன் சீரான பாதையை தொடரும்.
ஒரு பட்டாசு வானில் ஏவப்பட்டு உச்சியில் வெடிக்கும்போது, துண்டுகள் வெவ்வேறு திசைகளில் சிதறும். ஆனால், மொத்த நிறை மையம் — வெடிக்கவில்லை என்றால் சென்றிருக்குமோ — அதே பரவளையப் பாதையிலேயே கீழே விழும்.
Center of Mass of a Solid Hemisphere
ஒரு முழுமையான திண்மக் கோளம் (Solid Sphere) எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டால், அதன் நிறை மையம் சரியாக அதன் வடிவியல் மையத்தில் அமைந்திருக்கும்.
ஆனால், அந்த கோளத்தை இரண்டு சம பாதியாக வெட்டினால், கிடைக்கும் அரைக்கோளத்தில்:
ஆரம் = R, மொத்த நிறை = M, சீரான அடர்த்தி = ρ
சமச்சீர் அச்சு = z-அச்சு → xcm = 0, ycm = 0
zcm ஐ மட்டும் கண்டறிந்தால் போதுமானது.
அரைக்கோளத்தை எண்ணற்ற மிக மெல்லிய வட்டத் தட்டுகளாக (Circular Discs) பிரிக்கிறோம்.
Origin-இலிருந்து z உயரத்தில், dz தடிமன் கொண்ட வட்டத் தட்டு. ஆரம் r:
M = ρ · (2/3)πR³ என்பதை பிரதியிட:
அரைக்கோளத்தின் அடிப்பக்க மையத்திலிருந்து, சமச்சீர் அச்சின் வழியே 3R/8 ≈ 0.375R தொலைவில் அமையும்.
நிலைத்தன்மை: நிறை மையம் அடிப்பகுதிக்கு மிக அருகில் (0.375R) → சாய்த்தாலும் பழைய நிலைக்குத் திரும்பும் (Self-righting)
பொறியியல்: குவிமாடங்கள் (Domes) வடிவமைக்கும்போது எடையைத் தாங்கும் திறனை கணக்கிட பயன்படுகிறது
தஞ்சாவூர் பொம்மை: அடிப்பகுதி கனமான பொம்மைகள் சாய்ந்தாலும் நேராக நிற்பதற்குக் காரணம் — இந்த நிறை மையக் கோட்பாடே
Center of Mass of a Hollow Hemisphere
காலியான அரைக்கோளம் (Hollow Hemisphere) — உட்புறம் வெறுமையாக, வெளிப்புற வளைபரப்பில் மட்டும் நிறை விநியோகிக்கப்பட்ட வடிவம். ஒரு மெல்லிய பிளாஸ்டிக் பந்தை இரண்டு பாதியாக வெட்டினால் கிடைக்கும் வடிவம்.
நிறை Volume முழுவதும் பரவியிருக்கும்
நிறை Surface Area-ல் மட்டுமே
ஆரம் = R, மொத்த நிறை = M, பரப்பளவு அடர்த்தி σ = M / (2πR²)
சமச்சீர் அச்சு = z-அச்சு → xcm = 0, ycm = 0
எண்ணற்ற மிக மெல்லிய வட்ட வளையங்களாக (Circular Rings) பிரிக்கிறோம்.
θ கோணத்தில், dθ கோணத் தடிமன் கொண்ட வளையம்:
sinθ cosθ = sin2θ / 2 பயன்படுத்தி:
σ = M/(2πR²) பிரதியிட:
அடிப்பக்க மையத்திலிருந்து, சமச்சீர் அச்சின் வழியே R/2 = 0.5R உயரத்தில் நிறை மையம் அமையும்.
| வடிவம் | zcm |
|---|---|
| திண்ம அரைக்கோளம் | 3R/8 ≈ 0.375R |
| காலியான அரைக்கோளம் | R/2 = 0.5R |
திண்மத்தில் நிறை அடிப்பகுதியில் அதிகம்; காலியானதில் வளைபரப்பில் சமமாகப் பரவியுள்ளது.
சமநிலை: அரைக்கோள வடிவக் கிண்ணங்கள் கவிழாமல் இருக்க R/2 புள்ளி முக்கியம்
கட்டிடக்கலை: விளையாட்டு அரங்கங்களின் கூரைகள் (Domes) — எடை சமநிலை
விண்கலம்: பரவளைய ஆன்டெனாக்கள், சென்சார்கள் — நிலைத் துல்லியம்
Center of Mass of a Solid Tetrahedron
நான்முகக் கட்டம் (Tetrahedron) — நான்கு முக்கோண முகங்களைக் கொண்ட முப்பரிமாண பிரமிடு வடிவம்.
மொத்த உயரம் = h, அடிப்பக்க பரப்பு = A, நிறை = M, அடர்த்தி = ρ
உச்சியை ஆதிப்புள்ளியாகக் கொண்டு, மைய அச்சை y-அச்சாக எடுத்துக்கொள்வோம்.
அடிப்பக்கத்திற்கு இணையான எண்ணற்ற மெல்லிய முக்கோணத் தட்டுகளாக (Triangular slices) பிரிக்கிறோம்.
உச்சியிலிருந்து y தொலைவில் dy தடிமன் கொண்ட முக்கோணத் தட்டு:
M = ρ·(1/3)Ah பிரதியிட:
செங்குத்து அச்சின் வழியே 0.25h உயரத்தில் நிறை மையம் அமையும்.
CH₄ (மீத்தேன்): நான்முகக் கட்ட அமைப்பு — கார்பன் அணு மையத்தில் (நிறை மையத்தில்) அமைகிறது
கட்டிடக்கலை: பிரமிடு வடிவக் கோபுரங்கள் — நிலைத்தன்மைக்கு h/4 விதி பயன்படுகிறது
ரோபோட்டிக்ஸ்: நான்முகக் கட்ட வடிவ டிரோன்கள் — Balance & Control algorithms இதை பயன்படுத்துகின்றன
Center of Mass of a Solid Cone
திண்ம கூம்பு (Solid Cone) — ஒரு வட்ட அடிப்பக்கத்தையும் (Circular Base) ஒரு உச்சியையும் (Apex) கொண்ட முப்பரிமாண வடிவம்.
உயரம் = h, அடிப்பக்க ஆரம் = R, நிறை = M, அடர்த்தி = ρ
உச்சியை ஆதிப்புள்ளியாகக் கொண்டு, மைய அச்சை y-அச்சாக எடுத்துக்கொள்வோம்.
சமச்சீர் பண்பு: xcm = 0, zcm = 0. ycm மட்டும் கண்டறிய வேண்டும்.
அச்சுக்குச் செங்குத்தாக உள்ள வட்டத் தட்டுகளாக (Circular Discs) பிரிக்கிறோம்.
உச்சியிலிருந்து y தொலைவில், dy தடிமன். ஆரம் r:
M = ρ·(1/3)πR²h பிரதியிட:
மைய அச்சின் வழியே 0.25h உயரத்தில் நிறை மையம் அமையும்.
| வடிவம் | CM (அடிப்பக்கத்திலிருந்து) |
|---|---|
| முக்கோணத் தட்டு (2D) | h/3 |
| திண்ம கூம்பு (3D) | h/4 |
| காலியான கூம்பு (Hollow) | h/3 |
முப்பரிமாண திண்ம வடிவங்களில் நிறை அடிப்பகுதியில் அதிகமாக இருப்பதால், நிறை மையம் மேலும் கீழே அமைகிறது.
🚀 ஏவுகணை: Nose Cone நிலைத்தன்மை — Center of Mass & Center of Pressure இடைவெளிக்கு h/4 விதி அடிப்படை
🏛️ கட்டிடக்கலை: கூம்பு வடிவ ஸ்தூபிகள், கோபுரங்கள் — நிறை மையம் குறைந்த உயரத்தில் → கவிழும் அபாயம் குறையும்
⚗️ பொறியியல்: Conical flask, Funnel — சமநிலை மற்றும் வடிவமைப்பு ஆய்வுகளில் பயன்படுகிறது
இந்தப் பாடத்தின் அனைத்து முக்கிய சூத்திரங்களும்
வெளிவிசை இல்லாவிடில் நிலை மாறாது
விசை = நிறை × முடுக்கம்
செயல் = எதிர்செயல்
உந்தம் = நிறை × திசைவேகம்
தள்ளல் = விசை × கால அளவு
மொத்த உந்தம் மாறாது
0 ≤ e ≤ 1
இயக்க ஆற்றல் = ½ × நிறை × வேகம்²
எழுச்சி உயரம் = e² × விழும் உயரம்
மோதலுக்குப் பின் முதல் பொருளின் வேகம்
μ = m₁m₂/(m₁+m₂)
1/μ = 1/m₁ + 1/m₂
நிலையான தளத்தில் மோதும் போது
நிறை விநியோக மையப் புள்ளி
அடிப்பக்கத்திலிருந்து
அடிப்பக்கத்திலிருந்து
அடிப்பக்கத்திலிருந்து
அடிப்பக்கத்திலிருந்து
ஒரு பொருள் நகரத் தொடங்குவதற்கு முன்பே செயல்படும் சுய-சரிசெய்தல் விசை
இயற்கையில் எந்த ஒரு மேற்பரப்பும் (Surface) முற்றிலும் வழுவழுப்பானது அல்ல.
ஒரு மேசை மீது இருக்கும் கனமான பெட்டியை நகர்த்த முயற்சிக்கும்போது, ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு விசை கொடுக்கும் வரை அது நகருவதில்லை.
நாம் கொடுக்கும் விசைக்கு எதிராக, அந்தப் பெட்டியை நகரவிடாமல் தடுக்கும் ஒரு மறைமுக விசை செயல்படுகிறது.
அந்த விசையே நிலை உராய்வு (Static Friction) ஆகும்.
இது ஒரு பொருள் மற்றொரு பொருளின் மீது நகரத் தொடங்குவதற்கு முன்பே செயல்படும் சுய-சரிசெய்தல் (Self-adjusting) விசையாகும்.
"ஒன்றோடொன்று தொட்டுக்கொண்டிருக்கும் இரண்டு பொருட்கள், அவற்றுக்கிடையே ஒரு சார்பு இயக்கத்தை (Relative Motion) ஏற்படுத்த முயற்சிக்கும் விசைக்கு எதிராகச் செயல்படும் உராய்வு விசையே நிலை உராய்வு எனப்படும்."
மேலோட்டமாகப் பார்த்தால் பரப்புகள் வழுவழுப்பாகத் தோன்றினாலும், நுண்நோக்கி (Microscope) மூலம் பார்த்தால் அவற்றில்:
இரண்டு பொருட்கள் ஒன்றன் மீது ஒன்று அமையும்போது:
ஒன்றோடொன்று பிணைந்து கொள்கின்றன (Interlocking).
இந்தப் பிணைப்பை உடைப்பதற்கே வெளிப்புற விசை தேவைப்படுகிறது.
2 N விசை கொடுத்தால் → நிலை உராய்வு = 2 N
5 N விசை கொடுத்தால் → நிலை உராய்வு = 5 N
பொருள் நகராதவரை, கொடுக்கப்படும் விசைக்கு இணையாக நிலை உராய்வு தன்னை மாற்றிக்கொள்ளும்.
நிலை உராய்வு ஒரு குறிப்பிட்ட உச்சகட்ட மதிப்புவரை மட்டுமே அதிகரிக்கும்
அந்த அதிகபட்ச மதிப்பே எல்லை உராய்வு
அதற்கு மேல் விசை கொடுத்தால் பொருள் நகரத் தொடங்கும்
தொடு பரப்பின் அளவை (Area of contact) பொறுத்தது அல்ல
இது பின்வருவனவற்றைப் பொறுத்தது:
நிலை உராய்வின் அதிகபட்ச மதிப்பு, செங்குத்து விசைக்கு நேர்த்தகவில் இருக்கும்.
இதில்:
சமதளப் பரப்பில்: N = mg
விசை F மற்றும் உராய்வு f இடையிலான வரைபடம்:
நிலை உராய்வு இல்லையெனில் நம் வாழ்க்கை சாத்தியமற்றதாகும்:
கால் வழுக்காமல் நடக்க
ஆணி வெளியே வராமல் இருக்க
சரிவில் கார் உருளாமல் இருக்க
பேனா, குவளை வழுக்காமல் இருக்க
விசையை மாற்றி நிலை உராய்வு எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைக் காண்க
வினா:
10 kg நிறையுள்ள ஒரு பெட்டி மேசை மீது உள்ளது. நிலை உராய்வுக் குணகம் μs = 0.4. பெட்டியை நகர்த்தத் தேவையான குறைந்தபட்ச விசை என்ன? (g = 10 m/s²)
தீர்வு:
விடை: பெட்டியை நகர்த்த குறைந்தபட்சம் 40 N விசை தேவை.
நிலை உராய்வு, இயக்கத்தைத் தடுக்கும் விசையாகத் தோன்றினாலும், அதுவே உலகிற்கு நிலைத்தன்மையை அளிக்கிறது. ஒரு பொருள் தனது நிலையில் உறுதியாக இருப்பதற்கு நிலை உராய்வு தவிர்க்க முடியாதது.
நிலை உராய்வின் அதிகபட்ச மதிப்பு - பொருள் நகரத் தொடங்கும் தருணம்
நிலை உராய்வு என்பது ஒரு சுய-சரிசெய்தல் விசை என்பதை முந்தைய பகுதியில் பார்த்தோம்.
நாம் கொடுக்கும் விசைக்கு ஏற்ப நிலை உராய்வு அதிகரித்துக்கொண்டே செல்லும்.
ஆனால் இந்த அதிகரிப்பிற்கு ஒரு முற்றுப்புள்ளி உண்டு.
ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பிற்கு மேல் உராய்வு விசை அதிகரிக்க முடியாது.
அந்த அதிகபட்ச நிலை உராய்வு விசையே எல்லை உராய்வு (Limiting Friction) எனப்படுகிறது.
இந்த நிலையில் பொருள் நகரத் தொடங்குவதற்குத் தயாராக இருக்கும். இதனை Impending motion என்று கூறுகிறோம்.
"ஒரு பொருள் மற்றொரு பொருளின் மேற்பரப்பில் நகரத் தொடங்குவதற்குச் சரியாக முந்தைய நிலையில் செயல்படும் அதிகபட்ச நிலை உராய்வு விசையே எல்லை உராய்வு எனப்படும்."
இந்த விசையை விட சிறிதளவு அதிகமான விசை கொடுத்தாலும், பரப்புகளுக்கிடையிலான பிணைப்பு (Interlocking) உடைந்து, பொருள் நகரத் தொடங்கிவிடும்.
சோதனைகளின் அடிப்படையில் எல்லை உராய்விற்கு பின்வரும் விதிகள் வகுக்கப்பட்டுள்ளன:
எல்லை உராய்வு எப்போதும் பொருள் நகர முயற்சிக்கும் திசைக்கு நேர் எதிர் திசையில் செயல்படும்.
இது தொடு பரப்புகளின்:
ஆகியவற்றைப் பொறுத்தது.
எல்லை உராய்வு விசை (fsmax) செங்குத்து விசைக்கு (N) நேர்த்தகவில் இருக்கும்.
எல்லை உராய்வு தொடு பரப்பின் அளவை சார்ந்திருக்காது.
ஒரு பெட்டியை அகலமான பக்கத்தில் வைத்தாலும் குறுகலான பக்கத்தில் வைத்தாலும், செங்குத்து விசை மாறாத வரை, எல்லை உராய்வு ஒன்றாகவே இருக்கும்.
கணித ரீதியாக,
அல்லது,
இதில்:
பண்புகள்:
பொருட்கள் ஓய்வில் இருக்கும்போது:
விசை F – உராய்வு f வரைபடத்தில்:
காரணம்: ஒருமுறை பொருள் நகரத் தொடங்கினால், பிணைப்புகளை உடைப்பது எளிதாகிவிடும்.
வினா:
ஒரு மரப்பலகையின் மீது 50 kg நிறையுள்ள இரும்புப் பெட்டி உள்ளது. மரத்திற்கும் இரும்பிற்கும் இடையிலான μs = 0.6. பெட்டியை அசைக்கத் தேவையான விசை எவ்வளவு? (g = 9.8 m/s²)
தீர்வு:
முடிவு: 294 N-ஐ விட சிறிதளவு அதிகமான விசை கொடுத்தாலே பெட்டி நகரத் தொடங்கும். 294 N என்பது அந்த அமைப்பின் எல்லை உராய்வு.
சக்கரங்கள் வழுக்காமல் நிற்பதற்கு எல்லை உராய்வு மிக முக்கியம்
சரிவான கூரைகளில் ஓடுகள் நழுவாமல் இருக்க அவற்றின் எடை எல்லை உராய்வைத் தாண்டக்கூடாது
காலணிகளின் அடிப்பாகம் அதிக எல்லை உராய்வை வழங்கும் வகையில் வடிவமைக்கப்படுகிறது. இதனால் வழுக்கி விழுவது தடுக்கப்படுகிறது
பொருள் நகரும் போது செயல்படும் உராய்வு விசை
ஒரு கனமான பொருளை நகர்த்த முயற்சிக்கும்போது, தொடக்கத்தில் அதிக விசை தேவைப்படுவதையும், ஒருமுறை பொருள் நகரத் தொடங்கிவிட்டால் அதைத் தொடர்ந்து நகர்த்துவது சற்றே எளிதாக இருப்பதையும் நாம் கவனித்திருப்போம்.
இதற்குக் காரணம், பொருள் நகரத் தொடங்கியவுடன் செயல்படும் உராய்வு விசை, நிலை உராய்வின் அதிகபட்ச மதிப்பான எல்லை உராய்வை விடக் குறைவாக இருப்பதே ஆகும்.
இந்த "இயக்க நிலையில்" செயல்படும் உராய்வு விசையே இயக்க உராய்வு (Kinetic Friction) எனப்படுகிறது.
"ஒரு பொருள் மற்றொரு பொருளின் மேற்பரப்பில் சார்பு இயக்கத்தில் (Relative Motion) இருக்கும்போது, அந்த இயக்கத்தை எதிர்க்கும் வகையில் செயல்படும் உராய்வு விசையே இயக்க உராய்வு எனப்படும்."
முடிவு: இயக்க உராய்வு எப்போதும் எல்லை உராய்வை விடக் குறைவாகவே இருக்கும்.
இயக்க உராய்வு எப்போதும் பொருளின் இயக்கத் திசைக்கு நேர் எதிர் திசையில் செயல்படும்.
ஒரு குறிப்பிட்ட வேகம் வரை, இயக்க உராய்வின் மதிப்பு ஏறத்தாழ நிலையானது. இது பொருளின் திசைவேகத்தை சார்ந்ததல்ல.
இயக்க உராய்வு, தொடு பரப்பின் அளவை சார்ந்திருக்காது. இது நிலை உராய்வின் பண்பைப் போன்றதே.
இயக்க உராய்வு விசை (fk) செங்குத்து விசைக்கு (N) நேர்த்தகவில் இருக்கும்.
இயக்க உராய்வு விசைக்கும் செங்குத்து விசைக்கும் இடையிலான விகிதமே இயக்க உராய்வுக் குணகம் ஆகும்.
முக்கியப் பண்புகள்:
இயக்க உராய்வு இரண்டு துணைப் பிரிவுகளாகப் பிரிக்கப்படுகிறது:
ஒரு பொருள் மற்றொரு பொருளின் மீது நழுவிச் செல்லும் போது ஏற்படும் உராய்வு
உதாரணம்: தரையில் ஒரு பெட்டியை இழுத்தல்
ஒரு பொருள் மற்றொரு பொருளின் மீது உருண்டு செல்லும் போது ஏற்படும் உராய்வு
உதாரணம்: வாகனச் சக்கரம், பந்து
குறிப்பு: உருளு உராய்வு எப்போதும் நழுவு உராய்வை விட மிக மிகக் குறைவு. அதனால்தான் கனமான பொருட்களை நகர்த்த சக்கரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
விசை மற்றும் உராய்வு விசை இடையிலான வரைபடத்தில்:
வினா:
20 kg நிறையுள்ள ஒரு பொருள், ஒரு பரப்பின் மீது 5 m/s வேகத்தில் நழுவிச் செல்கிறது. இயக்க உராய்வுக் குணகம் μk = 0.3. அதன் மீது செயல்படும் இயக்க உராய்வு விசையைக் காண்க. (g = 10 m/s²)
தீர்வு:
முடிவு: அந்தப் பொருளின் இயக்கத்திற்கு எதிராக 60 நியூட்டன் விசை செயல்படுகிறது.
இயக்க உராய்வின் போது, இயக்க ஆற்றல் → வெப்ப ஆற்றலாக மாறுகிறது
உதாரணம்: குளிர்காலத்தில் உள்ளங்கைகளைத் தேய்க்கும்போது வெப்பம் உருவாகுதல்
இயந்திரங்களில் இது தேவையற்ற வெப்பத்தை உருவாக்கி பாகங்களைச் சேதப்படுத்தும்
டயர்கள், இயந்திரங்களின் பற்சக்கரங்கள் (Gears), காலணிகளின் அடிப்பாகம் - இவை அனைத்தும் தேய்வதற்கு காரணம் இயக்க உராய்வு.
வாகனங்கள் ஓடும்போது டயருக்கும் சாலைக்கும் இடையே சரியான அளவு இயக்க உராய்வு இருந்தால் மட்டுமே வாகனத்தைச் சீராகக் கட்டுப்படுத்த முடியும்.
எல்லை உராய்வு மற்றும் செங்குத்து விசையின் தொகுபயன் விசையின் கோணம்
ஒரு பொருள் மற்றொரு பொருளின் மீது ஓய்வு நிலையில் இருக்கும்போது, அதன் மீது இரண்டு முக்கியமான விசைகள் செயல்படுகின்றன:
இந்த இரண்டு விசைகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான திசைகளில் செயல்படுகின்றன.
இந்த இரு விசைகளின் தொகுபயன் விசை (Resultant force) செங்குத்து விசையுடன் உருவாக்கும் கோணமே உராய்வுக் கோணம் எனப்படுகிறது.
"ஒரு பொருள் நகரத் தொடங்கும் எல்லை நிலையில் (Limiting equilibrium) இருக்கும்போது, எல்லை உராய்வு விசை (fs) மற்றும் செங்குத்து விசை (N) ஆகியவற்றின் தொகுபயன் விசை, செங்குத்து விசையுடன் உருவாக்கும் கோணமே உராய்வுக் கோணம் எனப்படும்."
இந்தக் கோணம் பொதுவாக λ அல்லது θ என்ற கிரேக்க எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.
ஒரு கிடைமட்டப் பரப்பில் m நிறையுள்ள ஒரு பெட்டி இருப்பதாகக் கொள்வோம்.
வெக்டார் முக்கோண விதியின்படி,
நிலை உராய்வு விதியின்படி,
இதனை பிரதியிட்டால்,
முக்கிய முடிவு:
உராய்வுக் கோணத்தின் டேன்ஜென்ட் மதிப்பு = நிலை உராய்வுக் குணகம்
ஒரு பரப்பின் μs மதிப்பு தெரிந்தால், அதன் உராய்வுக் கோணத்தை எளிதாகக் கணக்கிடலாம்.
உராய்வுக் கோணம் அதிகமாக இருந்தால், அந்தப் பரப்பு அதிக உராய்வு கொண்டதாகும்.
ஒரு பொருள் எப்போது நகரத் தொடங்கும் என்பதைத் தீர்மானிக்க உராய்வுக் கோணம் உதவுகிறது.
உராய்வுக் கோணத்துடன் தொடர்புடைய மற்றொரு முக்கியக் கோணம் சறுக்குக் கோணம் (α) ஆகும்.
வரையறை: ஒரு சாய்தளத்தில் வைக்கப்பட்ட ஒரு பொருள், தானாகவே கீழ்நோக்கிச் சறுக்கத் தொடங்கும் அந்தத் தளத்தின் சாய்வுக் கோணமே சறுக்குக் கோணம் எனப்படுகிறது.
முக்கியமான உண்மை:
உராய்வுக் கோணம் = சறுக்குக் கோணம்
இதன் மூலம், ஒரு பரப்பின் உராய்வுக் குணகத்தைக் கண்டறிய அந்தப் பரப்பை மெதுவாகச் சாய்த்து, பொருள் சறுக்கத் தொடங்கும் கோணத்தை அளவிட்டாலே போதும்.
உராய்வுக் கோணத்தை முப்பரிமாணத்தில் விரிவுபடுத்தும் கருத்தே உராய்வுக் கூம்பு ஆகும்.
நிலை:
வினா:
ஒரு பரப்பின் நிலை உராய்வுக் குணகம் μs = 1/√3. எனில், அதன் உராய்வுக் கோணத்தைக் காண்க.
தீர்வு:
நமக்குத் தெரியும், tan 30° = 1/√3
எனவே,
மலைச் சாலைகளின் சாய்வு அந்தப் பரப்பின் சறுக்குக் கோணத்தை விடக் குறைவாக இருக்க வேண்டும்.
இல்லையெனில் வாகனங்கள் தானாகவே பின்னோக்கிச் சறுக்க நேரிடும்.
மணல், தானியங்கள் போன்றவை குவிக்கப்படும்போது அவை ஒரு கூம்பு வடிவம் பெறும்.
அந்தக் கூம்பின் சாய்வு கோணம் அந்தப் பொருளின் அக உராய்வுக் கோணத்திற்கு (Angle of Internal Friction) சமமாக இருக்கும்.
நேரான சமநிலை மற்றும் சுழற்சி சமநிலையின் நிபந்தனைகள்
இயற்பியலில் திட உடல் (Rigid Body) என்பது, அதன் மீது விசை செயல்பட்டாலும் தன் வடிவம் அல்லது அளவு மாறாத பொருளைக் குறிக்கும்.
ஒரு திட உடல் சமநிலையில் (Equilibrium) இருக்க வேண்டுமானால்,
ஒன்றையொன்று சமன் செய்யப்பட வேண்டும்.
உராய்வு விசை உள்ள சூழ்நிலைகளில், இந்த சமநிலைப் பகுப்பாய்வு மிகவும் முக்கியமும் சுவாரஸ்யமும் ஆகிறது.
ஒரு திட உடல் சமநிலையில் இருக்க இரண்டு அவசியமான நிபந்தனைகள் உள்ளன.
திட உடலின் மீது செயல்படும் அனைத்து வெளிப்புற விசைகளின் வெக்டார் கூடுதல் சுழியாக இருக்க வேண்டும்.
அதாவது, மூன்று அச்சுகளிலும்:
இதனால் பொருள் நேர்க்கோட்டில் நகராது என்பது உறுதி செய்யப்படுகிறது.
திட உடலின் மீது ஏதேனும் ஒரு புள்ளியைப் பொறுத்து செயல்படும் அனைத்து திருப்பு விசைகளின் (Torque) கூடுதல் சுழியாக இருக்க வேண்டும்.
இதனால் பொருள் சுழலாது என்பது உறுதி செய்யப்படுகிறது.
ஒரு திட உடல், ஒரு பரப்பின் மீது சாய்ந்து இருக்கும்போதோ நழுவ முயற்சிக்கும் நிலையிலோ அதன் சமநிலையைத் தீர்மானிப்பதில் உராய்வு விசை முக்கியப் பங்கு வகிக்கிறது.
முக்கிய விதிகள்:
திட உடல்களின் சமநிலைக்கு இது ஒரு சிறந்த எடுத்துக்காட்டு.
ஒரு ஏணி:
ஒரு செங்குத்துச் சுவரில் சாய்ந்து வைக்கப்பட்டுள்ளது.
(a) தரையில் (Bottom contact)
(b) சுவரில் (Top contact)
(c) ஏணியின் மையத்தில்
நேரான சமநிலை:
சுழற்சி சமநிலை:
தரையின் அடிப்பகுதியைப் பொறுத்து ∑τ = 0 என எடுத்தால், ஏணி நழுவாமல் இருக்க வேண்டிய குறைந்தபட்சக் கோணம் கண்டறியப்படுகிறது.
ஒரு பெட்டியைத் தள்ளும்போது அது நழுவுமா? அல்லது கவிழுமா? என்பது இரண்டு காரணிகளைப் பொறுத்தது:
F > μsN ஆக இருந்தால், பொருள் நழுவும்.
விசை அதிக உயரத்தில் செலுத்தப்பட்டால் அது ஒரு திருப்பு விசையை உருவாக்கி பொருளை கவிழ்க்கும்.
முக்கிய நிபந்தனை: ஒரு திட உடல் கவிழாமல் இருக்க, அதன் புவிஈர்ப்பு மையத்திலிருந்து வரையப்படும் செங்குத்துக் கோடு அடிப்பகுதிக்குள் விழ வேண்டும்.
சிறிய இடப்பெயர்ச்சிக்குப் பின் பொருள் மீண்டும் பழைய நிலைக்கு திரும்பும்.
உதாரணம்: அகல அடிப்பகுதி கொண்ட கூம்பு
சிறிய இடப்பெயர்ச்சியே பொருளைக் கவிழ்க்கும்.
உதாரணம்: உச்சியில் நிற்கும் கூம்பு
நகர்த்திய பின் புதிய நிலையிலும் சமநிலையில் இருக்கும்.
உதாரணம்: தரையில் உருளும் பந்து
வினா:
10 kg எடையுள்ள ஒரு சீரான ஏணி 60° கோணத்தில் ஒரு வழுவழுப்பான சுவரில் சாய்ந்துள்ளது. தரையின் உராய்வுக் குணகம் μ = 0.4. ஏணி நழுவுமா?
தீர்வு:
திருப்பு விசை சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி சுவரின் எதிர்விசை R2 கண்டறியப்படுகிறது.
பாரம் தூக்கும் கிரேன்கள் கவிழாமல் இருக்க எதிர் எடைகள் (Counterweights) துல்லியமாக வடிவமைக்கப்படுகின்றன.
தூண்கள், உத்திரங்கள் (Beams) உராய்வு மற்றும் அழுத்த விசைகளுக்கிடையே சமநிலையில் இருக்க வேண்டும்.
நாற்காலி, மேசை போன்றவை கவிழாமல் இருக்க நிறை மையம் + அடிப்பகுதி கணக்கிடப்படுகிறது.
சுழற்சி இயக்கத்தின் உந்தம் - L = Iω
ஒரு பொருள் நேர்க்கோட்டில் இயங்கும்போது, அதன் நிறை மற்றும் திசைவேகத்தின் பெருக்கற்பலனை நாம் உந்தம் என்கிறோம்.
அதேபோல், ஒரு பொருள் ஒரு அச்சைப் பொறுத்துச் சுழலும்போது, அதன் சுழற்சி இயக்கத்தின் அளவை அளவிடப் பயன்படும் காரணியே கோண உந்தம் ஆகும்.
எளிமையாகச் சொன்னால், கோண உந்தம் = சுழற்சி இயக்கத்தின் உந்தம்
ஒரு துகளின் நேர்க்கோட்டு உந்தத்தின் திருப்புத்திறனே (Moment of Linear Momentum) அதன் கோண உந்தம் எனப்படும்.
ஒரு துகளின்,
எனில், அதன் கோண உந்தம் L:
வெக்டார் பெருக்கலின் அளவு:
இங்கு, θ = r மற்றும் p க்கு இடையிலான கோணம்.
ஒரு திடப்பொருள்,
எனில், அதன் கோண உந்தம்:
இது நேர்க்கோட்டு இயக்கத்தின் p = mv என்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒப்பானது.
நேர்க்கோட்டு இயக்கத்தில்:
அதேபோல், சுழற்சி இயக்கத்தில்:
திருப்பு விசை = கோண உந்த மாறுபாட்டு வீதம்
ஒரு அமைப்பின் மீது நிகர வெளிப்புற திருப்பு விசை இல்லையெனில், அதன் கோண உந்தம் மாறாது.
ஒரு சுழலும் அமைப்பின் மீது செயல்படும் நிகர வெளிப்புற திருப்பு விசை சுழியாக இருந்தால் (τ = 0), அந்த அமைப்பின் மொத்த கோண உந்தம் மாறாமல் இருக்கும்.
இதன் விளக்கம்:
ஒரு பனிச்சறுக்கு வீரர் சுழலும்போது,
சூரியனைச் சுற்றி வரும் கிரகங்கள்:
இது கெப்லரின் இரண்டாம் விதியுடன் தொடர்புடையது.
உயரத்தில் இருந்து குதிப்பவர்கள்:
இது முழுவதும் கோண உந்த மாறா விதியின் விளைவு.
ஒரு பொருள், ஒரு புள்ளி அல்லது அச்சை மையமாக வைத்து சுற்றி வரும்போது.
உதாரணம்: சூரியனைச் சுற்றும் பூமி
ஒரு பொருள் தன் சொந்த அச்சிலேயே சுழலும்போது.
உதாரணங்கள்:
சுழலும் சக்கரத்தின் கோண உந்தத்தைக் காண்க - L = Iω
வினா:
0.5 kg·m² நிலைமத் திருப்புத்திறன் கொண்ட ஒரு சக்கரம் 10 rad/s கோண வேகத்தில் சுழல்கிறது. அதன் கோண உந்தத்தைக் காண்க.
தீர்வு:
முடிவு: சக்கரத்தின் கோண உந்தம்:
Krot = ½Iω² - சுழற்சி இயக்கத்தின் ஆற்றல்
ஒரு திடப்பொருள் (Rigid Body) ஒரு நிலையான அச்சைப் பொறுத்துச் சுழலும்போது, அதிலுள்ள ஒவ்வொரு துகளும் வெவ்வேறு நேர்க்கோட்டுத் திசைவேகங்களுடன் வட்டப் பாதையில் இயங்குகின்றன.
இந்த தனித்தனி துகள்களின் இயக்க ஆற்றல்களின் ஒட்டுமொத்தக் கூடுதலே அந்தச் சுழலும் உடலின் மொத்த இயக்க ஆற்றல் ஆகும்.
நேர்க்கோட்டு இயக்கத்தில்: K = ½mv²
ஆனால் சுழற்சி இயக்கத்தில், இயக்க ஆற்றல் நிலைமத் திருப்புத்திறன் மற்றும் கோணத் திசைவேகத்தை சார்ந்தது.
ஒரு திடப்பொருள் ω என்ற சீரான கோணத் திசைவேகத்துடன் ஒரு அச்சைப் பொறுத்துச் சுழல்கிறது எனக் கொள்வோம்.
இந்தப் பொருள் m₁, m₂, m₃, ..., mₙ என்ற நிறைகளைக் கொண்ட துகள்களால் ஆனது. அவை சுழற்சி அச்சிலிருந்து r₁, r₂, r₃, ..., rₙ தொலைவுகளில் உள்ளன.
சுழற்சி இயக்கத்தில், v = rω
எனவே, v₁ = r₁ω, v₂ = r₂ω, ..., vₙ = rₙω
முதல் துகள்:
K₁ = ½m₁v₁² = ½m₁(r₁ω)² = ½m₁r₁²ω²
இதேபோல் மற்ற துகள்களுக்கும்.
Krot = K₁ + K₂ + ... + Kₙ
Krot = ½(Σmᵢrᵢ²)ω²
Σmᵢrᵢ² = I எனவே,
இதுவே சுழலும் உடலின் இயக்க ஆற்றல் சூத்திரம்.
| பண்பு | நேர்க்கோட்டு இயக்கம் | சுழற்சி இயக்கம் |
|---|---|---|
| நிலைமம் | நிறை (m) | நிலைமத் திருப்புத்திறன் (I) |
| வேகம் | திசைவேகம் (v) | கோணத் திசைவேகம் (ω) |
| ஆற்றல் | ½mv² | ½Iω² |
ஒரு பொருள் நழுவாமல் உருளும்போது, அது ஒரே நேரத்தில் நேர்க்கோட்டு இயக்கம் மற்றும் சுழற்சி இயக்கம் என இரண்டையும் கொண்டிருக்கும்.
இங்கு, vcm → நிறை மையத்தின் திசைவேகம், I → நிறை மையத்தைப் பொறுத்த நிலைமத் திருப்புத்திறன்
சிறப்பு வடிவம்: I = Mk², v = Rω எனில்,
அதிக நிலைமத் திருப்புத்திறன் கொண்டது. சிறிய ω இல் கூட அதிக ஆற்றல் சேமிப்பு
செயற்கைக்கோள்களின் நிலைப்புத்தன்மைக்காக Spin பயன்பாடு
வட்டு எறிதல், சுத்தியல் எறிதல் - அதிக சுழற்சி இயக்க ஆற்றல் → அதிக தூரம்
வினா:
5 kg நிறையும் 2 m ஆரமும் கொண்ட ஒரு சீரான வட்டத் தட்டு 4 rad/s கோண வேகத்தில் சுழல்கிறது. அதன் இயக்க ஆற்றலைக் காண்க.
தீர்வு:
வட்டத் தட்டிற்கு, I = ½MR²
சுழற்சி இயக்க ஆற்றல்:
விடை:
I = ⅖MR² - விட்டம் வழியாகச் செல்லும் அச்சைப் பொறுத்து
ஒரு கோளம் என்பது அதன் மையத்திலிருந்து அனைத்துத் திசைகளிலும் சமமான ஆரம் கொண்ட ஒரு முப்பரிமாண வடிவமாகும்.
திண்மக் கோளம் (Solid Sphere) என்றால், அதன் உட்புறம் முழுவதும் பருப்பொருள் சீரான அடர்த்தியுடன் பரவியிருப்பதாக அர்த்தம்.
ஒரு கோளத்திற்கு எண்ணற்ற விட்டம் வழியிலான அச்சுகள் இருந்தாலும், அதன் சமச்சீர் (Symmetry) பண்பின் காரணமாக, எந்த ஒரு விட்டம் வழியாகச் செல்லும் அச்சைப் பொறுத்தும் நிலைமத் திருப்புத்திறன் ஒரே மதிப்பாக இருக்கும்.
அடர்த்தி: ρ = M / (⁴/₃πR³)
ஒரு திண்மக் கோளத்தின் நிலைமத் திருப்புத்திறனைக் கண்டறிய, அதை எண்ணற்ற மெல்லிய வட்டத் தட்டுகளின் (Circular Discs) தொகுப்பாகக் கருதுகிறோம்.
கோளத்தின் மையத்திலிருந்து x தொலைவில், dx தடிமன் கொண்ட ஒரு வட்டத் தட்டைக் கருதுவோம்.
பிதகோரஸ் தேற்றம்: r² = R² - x²
வட்டத் தட்டின் கனஅளவு: dV = πr²dx = π(R² - x²)dx
அதன் நிறை: dm = ρdV = ρπ(R² - x²)dx
dI = ½(dm)r²
dI = ½ρπ(R² - x²)²dx
படி 4 & 5: மொத்த நிலைமத் திருப்புத்திறன்
முழுக் கோளத்திற்காக தொகையீடு செய்து, ρ மதிப்பை பிரதியிட்டால்:
ஒரு சீரான திண்மக் கோளத்தின், அதன் விட்டம் வழியாகச் செல்லும் அச்சைப் பொறுத்த நிலைமத் திருப்புத்திறன்:
இணை அச்சுத் தேற்றம்: I = Icm + Md²
இங்கு d = R.
Mk² = ⅖MR²
| கோள வகை | நிலைமத் திருப்புத்திறன் |
|---|---|
| திண்மக் கோளம் | I = 0.4MR² |
| காலிக் கோளம் | I ≈ 0.66MR² |
நிறை மையத்திலிருந்து தள்ளி விநியோகிக்கப்பட்டால் நிலைமத் திருப்புத்திறன் அதிகமாகும்.
Shot put போட்டியில் பயன்படுத்தப்படும் இரும்புக் குண்டு - சுழற்சி நிலைமம் கணக்கிட பயன்பாடு
Ball bearings - உராய்வு மற்றும் சுழற்சி ஆற்றல் இழப்பு கணக்கீடு
பூமி போன்ற கோள்களை திண்மக் கோளமாகக் கருதி தற்சுழற்சி இயக்க ஆற்றல் கணக்கீடு
I = ⅔MR² - மெல்லிய கோளச் சவ்விற்கு
கோளச் சவ்வு (Spherical Shell) என்பது உட்புறம் காலியாகவும், நிறை முழுவதும் அதன் மேற்பரப்பில் மட்டும் விநியோகிக்கப்பட்டுள்ள ஒரு கோள வடிவ அமைப்பாகும்.
இதனால், கோளச் சவ்வின் நிலைமத் திருப்புத்திறன், திண்மக் கோளத்தை விட அதிகமாக இருக்கும். (நிறை சுழற்சி அச்சிலிருந்து அதிகத் தொலைவில் இருப்பதே காரணம்)
கோளத்தின் மொத்த வளைபரப்பு: A = 4πR²
எனவே, σ = M / (4πR²)
கோளச் சவ்வை எண்ணற்ற மெல்லிய வட்ட வளையங்களாக (Circular Rings) பிரிக்கிறோம்.
மையத்திலிருந்து θ கோணத்தில், dθ தடிமன் கொண்ட ஒரு மெல்லிய வளையம்.
வளையத்தின் ஆரம்: r = R sin θ
சுழற்சி அச்சிலிருந்து வளையத்தின் தொலைவு: r = R sin θ
வளையத்தின் பரப்பளவு: dA = 2πR² sin θ dθ
அதன் நிறை: dm = σ dA = σ(2πR² sin θ dθ)
dI = (dm)r² = 2πR⁴σ sin³θ dθ
θ = 0 முதல் π வரை தொகையீடு செய்து, σ மதிப்பை பிரதியிட்டால்:
ஒரு சீரான மெல்லிய கோளச் சவ்வின், அதன் விட்டம் வழியாகச் செல்லும் அச்சைப் பொறுத்த நிலைமத் திருப்புத்திறன்:
இணை அச்சுத் தேற்றம்: I = Icm + Md²
இங்கு d = R.
Mk² = ⅔MR²
| வடிவம் | நிலைமத் திருப்புத்திறன் | தசம மதிப்பு |
|---|---|---|
| திண்மக் கோளம் | ⅖MR² | 0.40MR² |
| கோளச் சவ்வு | ⅔MR² | 0.67MR² |
நிறை அதே அளவாக இருந்தாலும், கோளச் சவ்வில் நிறை வெளிப்புறத்தில் இருப்பதால் அதன் I அதிகம்.
கால்பந்து, கூடைப்பந்து, டென்னிஸ் பந்து - Spin, swing, trajectory ஆகியவை ⅔MR² மீது சார்ந்தவை
செயற்கைக்கோள் எரிபொருள் டாங்கிகள், விண்கல மேல் ஓடுகள் (Outer shells)
சாய்தளத்தில் உருளுதல்: திண்மக் கோளம் → முதலில் கீழே வரும் (I குறைவு → முடுக்கம் அதிகம்)
மைய அச்சு: I = ½MR²
திண்ம உருளை (Solid Cylinder) என்பது சீரான ஆரம் R மற்றும் நீளம் L கொண்ட ஒரு முப்பரிமாண வடிவமாகும்.
ஒரு திண்ம உருளையின் நிலைமத் திருப்புத்திறன், எந்த அச்சைப் பொறுத்து அது சுழல்கிறது என்பதைக் கொண்டு மாறுபடும்.
பொதுவாக இரண்டு முக்கிய அச்சுக்கள் ஆராயப்படுகின்றன:
உருளை அதன் மைய அச்சைப் பொறுத்துச் சுழல்கிறது எனக் கொள்வோம்.
உருளையின் நீளத்தில் dx தடிமன் கொண்ட ஒரு மெல்லிய வட்டத் தட்டு.
தட்டின் ஆரம் = R
கனஅளவு: dV = πR²dx
நிறை: dm = ρdV = ρπR²dx
ஒரு வட்டத் தட்டின் மைய அச்சைப் பொறுத்த: I = ½mR²
dI = ½(dm)R² = ½ρπR⁴dx
முழு உருளைக்காக x = 0 முதல் L வரை தொகையீடு செய்து, ρ மதிப்பை பிரதியிட்டால்:
இது ஒரு வட்டத் தட்டின் நிலைமத் திருப்புத்திறனுக்கு சமமானது.
இந்த நிலையில் உருளை அதன் நீளத்திற்குச் செங்குத்தாக மையம் வழியாகச் செல்லும் அச்சைப் பொறுத்துச் சுழல்கிறது.
விளக்கம்:
R² << L² ⇒ I ≈ ⅟₁₂ML²
மெல்லிய தடி போல நடந்து கொள்கிறது.
L² << R² ⇒ I ≈ ¼MR²
வட்டத் தட்டு போல நடந்து கொள்கிறது.
| வடிவம் | நிலைமத் திருப்புத்திறன் |
|---|---|
| திண்ம உருளை | ½MR² |
| காலியான உருளை | MR² |
காலியான உருளையில் நிறை அச்சிலிருந்து அதிகத் தொலைவில் இருப்பதால் நிலைமத் திருப்புத்திறன் அதிகம்.
பெரிய R, அதிக M - அதிக I → சீரான அழுத்தம்
சுழலும் திண்ம உருளைகளாகக் கருதி இயக்க ஆற்றல் மற்றும் நிலைத்தன்மை கணக்கிடப்படுகிறது
ஜிம்னாஸ்டிக்ஸ் வீரர்கள் சுழலும்போது உடலை உருளை வடிவில் சுருக்கி I-யை மாற்றி வேகத்தை கட்டுப்படுத்துகிறார்கள்
I = IG + Md² - நிறை மையத்தைத் தவிர்ந்த அச்சிற்கான நிலைமத் திருப்புத்திறன்
ஒரு திடப்பொருளின் நிறை மையத்தின் (Center of Mass) வழியாகச் செல்லும் அச்சைப் பொறுத்த நிலைமத் திருப்புத்திறன் (Icm) பொதுவாக எளிதாகக் கணக்கிட முடியும்.
ஆனால் நடைமுறையில், ஒரு கதவின் விளிம்பில், ஒரு சக்கரத்தின் விளிம்பில், ஒரு தடியின் முனையில் பொருள் சுழலும் நிலைகள் அதிகம் காணப்படுகின்றன.
இவ்வாறு நிறை மையத்தைத் தவிர்ந்த அச்சைப் பொறுத்த நிலைமத் திருப்புத்திறனை கணக்கிட உதவுவதே இணை அச்சுத் தேற்றம் ஆகும்.
இந்தத் தேற்றம் ✔ 2D மற்றும் 3D ✔ அனைத்து திடப்பொருட்களுக்கும் பொருந்தும்.
"ஒரு திடப்பொருளின் எந்த ஒரு அச்சைப் பொறுத்த நிலைமத் திருப்புத்திறன், அந்த அச்சிற்கு இணையாகவும் நிறை மையத்தின் வழியாகவும் செல்லும் அச்சைப் பொறுத்த நிலைமத் திருப்புத்திறன் மற்றும் பொருளின் நிறை × அச்சுகளுக்கிடையேயான தொலைவின் வர்க்கம் இவற்றின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்."
குறியீடுகளின் விளக்கம்:
நீளம் = L
மைய அச்சு: IG = ½ML²
முனை அச்சிற்கு தொலைவு: d = L/2
CM அச்சு: IG = ⅖MR²
தொடுகோட்டு அச்சு: d = R
இந்த நிபந்தனைகள் பூர்த்தி ஆகாவிட்டால் இணை அச்சுத் தேற்றம் பொருந்தாது
ஹிஞ்ச் செய்யப்பட்ட கதவுகள், எஞ்சின் பாகங்கள், விளிம்பில் சுழலும் சக்கரங்கள்
ஜிம்னாஸ்டிக்ஸ், டைவிங், பம்பரம் சுழற்சி
கிரகங்களின் தற்சுழற்சி, செயற்கைக்கோள்களின் சுழற்சி நிலைத்தன்மை
Iz = Ix + Iy - தட்டையான பொருட்களுக்கு மட்டும்
இணை அச்சுத் தேற்றம் அனைத்து திடப்பொருட்களுக்கும் பொருந்தும்.
ஆனால் செங்குத்து அச்சுத் தேற்றம் ஒரு சிறப்பு தேற்றம்:
ஒரு தட்டையான பொருளின் தளத்தில் உள்ள இரண்டு செங்குத்து அச்சுகளின் நிலைமத் திருப்புத்திறன் தெரிந்தால், அதே புள்ளியில் தளத்திற்குச் செங்குத்தாகச் செல்லும் மூன்றாவது அச்சின் மதிப்பை இந்த தேற்றம் உடனடியாகக் கொடுக்கிறது.
"ஒரு தட்டையான பொருளின் தளத்திற்குச் செங்குத்தான அச்சைப் பொறுத்த நிலைமத் திருப்புத்திறன், அத்தளத்தில் அமைந்து ஒன்றையொன்று செங்குத்தாக வெட்டிக்கொள்ளும் இரு அச்சுக்களைப் பொறுத்த நிலைமத் திருப்புத்திறன்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாகும்."
குறியீடுகள்:
மையம் வழியாகத் தளத்திற்குச் செங்குத்தான அச்சு: Iz = ½MR²
சமச்சீர் காரணமாக: Ix = Iy
Iz = Ix + Iy = 2Ix
மைய அச்சு: Iz = MR²
Iz = 2Ix
பொருந்தும் போது:
பொருந்தாத போது:
நேர்க்கோட்டு இயக்கம் + சுழற்சி இயக்கம் - vcm = Rω
ஒரு பந்து தரையில் உருளும்போதோ, ஒரு மிதிவண்டிச் சக்கரம் முன்னேறிச் செல்லும்போதோ, அந்தப் பொருள் இரண்டு இயக்கங்களை ஒரே நேரத்தில் செய்கிறது:
இந்த இரண்டு இயக்கங்களின் சேர்க்கையே உருளும் இயக்கம் (Rolling Motion) ஆகும்.
இயற்பியலில் பெரும்பாலும் நாம் ஆய்வு செய்வது நழுவாமல் உருளுதல் தான்.
நிபந்தனை: தரையைத் தொடும் புள்ளியின் தற்காலிக வேகம் சுழி ஆக இருக்க வேண்டும். அதாவது, தரையுடன் ஒப்பிடும்போது நழுவல் இருக்கக் கூடாது.
முக்கிய உறவு:
ஒரு உருளும் பொருளின் ஆரம் = R, கோண வேகம் = ω எனில்,
இந்த நிபந்தனை பூர்த்தியானால் → Pure Rolling
ஒரு உருளும் சக்கரத்தின் புள்ளிகளின் வேகங்கள்:
v = vcm + Rω = 2vcm
அதிகபட்ச வேகம்
v = vcm
v = vcm - Rω = 0
தற்காலிக ஓய்வு நிலை
உருளும் பொருளின் மொத்த இயக்க ஆற்றல் என்பது:
I = Mk² மற்றும் v = Rω எனப் பிரதியிட்டால்,
ஒரு பொருள் θ கோணமுள்ள சாய்தளத்தில் நழுவாமல் உருண்டு வந்தால்:
முக்கிய முடிவுகள்:
சாய்தளத்தில் உருளும் பந்தின் இயக்கத்தைக் காண்க
வினா:
ஒரு திண்மக் கோளம் k² = ⅖R² நழுவாமல் உருள்கிறது. மொத்த இயக்க ஆற்றலில் எத்தனை சதவீதம் சுழற்சி இயக்க ஆற்றல்?
தீர்வு:
முடிவு:
நழுவாமல் உருள Treads வடிவமைக்கப்படுகின்றன
நழுவு உராய்வை → உருளு உராய்வாக மாற்றி ஆற்றல் இழப்பைக் குறைக்கின்றன
Bowling பந்து: முதலில் Sliding, பின்னர் Pure Rolling
உருளும் இயக்கம் என்பது நேர்க்கோட்டு இயக்கம் + சுழற்சி இயக்கம் என்ற அழகான இணைப்பு. நழுவாமல் உருளுதல் என்பது பொருளுக்கும் தரைக்கும் இடையிலான ஒரு நுட்பமான இயற்பியல் சமநிலை ஆகும்.